定义法

所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

Ⅰ、再现性题组：

1.  已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则（    ）

A. 2≤n≤9     B. 7≤n≤9     C. 5≤n≤9    D. 5≤n≤7

2.  设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则（    ）

A.  MP<OM<AT          B.  OM<MP<AT  

C.  AT<OM<MP         D.  OM<AT<MP

3.  复数z ＝a+2ｉ，z =－2+ｉ，如果|z |< |z |，则实数a的取值范围是（    ）

A. －1<a<1    B.  a>1    C.  a>0    D. a<－1或a>1

4.  椭圆 + ＝1上有一点P，它到左准线的距离为 ，那么P点到右焦点的距离为_____。

A.  8         B.  7.5      C.     D.  3

5.   奇函数f (x)的最小正周期为T，则f (－ )的值为_____。

A.  T          B.  0       C.       D. 不能确定

【简解】

1：利用并集定义，选B；

2：利用三角函数线定义，作出图形，选B；

3：利用复数模的定义得 < ，选A；

4：利用椭圆的第二定义得到 ＝e＝ ，选A；

5：利用周期函数、奇函数的定义得到f(- )＝f( )＝-f(- )，选B；

Ⅱ、示范性题组：

例1. 已知z＝1+ｉ，

 ① 设w＝z +3 －4，求w的三角形式；   

② 如果 ＝1－ｉ，求实数a、b的值。

【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。

【解】由z＝1+ｉ，有w＝z +3 －4＝(1+ｉ) +3 －4＝2ｉ+3(1-ｉ)-4＝-1-ｉ，w的三角形式是 （cos +ｉsin ）；由z＝1+ｉ，有 ＝

＝ ＝(a+2)－(a+b)ｉ。

由题设条件知：(a+2)－(a+b)ｉ＝1+ｉ；

根据复数相等的定义，得：

，   解得 。

【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。

例2. 已知f(x)＝－x +cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝log f(x)的定义域，判定在( ，1)上的单调性。

【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。

【解】   解得：  

 ∴ f(x)＝－x +x  解f(x)>0得：0<x<1

设 <x <x <1， 则f(x )－f(x )＝－x +x -（-x +x ）

=(x -x )[1-(x +x )( x +x )]，

∵ x +x > ， x +x >   

∴ (x +x )( x +x )〉 × ＝1

∴ f(x )－f(x )>0即f(x)在( ，1)上是减函数

∵ <1   ∴ y＝log f(x) 在( ，1)上是增函数。

【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。

例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。

①   证明：AB’∥平面DBC’；

②   假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。

【解】 ① 连接B’C交BC’于O， 连接OD

∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱   

∴ 四边形B’BCC’是矩形   

∴ O是B’C中点

△AB’C中， D是AC中点  

 ∴ AB’∥OD    ∴   AB’∥平面DBC’

②     作DH⊥BC于H，连接OH  ∴ DH⊥平面BC’C

∵ AB’∥OD，  AB’⊥BC’   ∴ BC’⊥OD  

∴ BC’⊥OH  即∠DOH为所求二面角的平面角。

设AC＝1，作OE⊥BC于E，

则DH＝ sin60°＝ ，BH＝ ，EH＝  ；   

Rt△BOH中，OH ＝BH×EH＝ ， ∴  OH＝ ＝DH   

∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。

【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。

此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，

所以 ＝ ＝ ，EF＝ B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE，由射影定理得：B’E×EF＝BE 即 B’E ＝1，

所以B’E＝ 。

例4. 求过定点M(1，2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆的下顶点的轨迹方程。

【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到 ＝ 建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。

【解】设A(x，y)、F(x，m)，由M(1，2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：

  ，

消m得：（x－1） + ＝1，

所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） + ＝1。

【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数m，列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

Ⅲ、巩固性题组：

1．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A 、B ，则∠A FB 等于（    ）

A.  45°     B.  60°     C.  90°      D.  120°

2．已知A＝{0，1}，B＝{x|x A}，则下列关系正确的是（    ）

   A.   A B    B.  A B    C.  A∈B     D.  A B

3．双曲线3x －y ＝3的渐近线方程是（    ）

   A. y＝±3x    B. y＝± x    C. y＝± x   D. y＝± x

4．已知定义在R上的非零函数f(x)满足f(x+y)＝f(x)+f(y)，则f(x)是（    ）

A.奇函数  B.偶函数  C.非奇非偶函数  D.既奇既偶函数

5．  函数y＝f(x)＝a +k的图像过点(1，7)，它的反函数的图像过点(4，0)，则f(x)的表达式是__        _。

6.       C +C ＝________。

7.       不等式ax +bx+c>0的解集是(1，2)，则不等式bx +cx+a<0解集是__________。

8.       已知数列{a }是等差数列，求证数列{b }也是等差数列，其中b ＝ (a +a +…+a )。

9. 已知F 、F 是椭圆 + ＝1 (a>b>0)的两个焦点，其中F 与抛物线y ＝12x的焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠M F F ·cos∠MF F ＝ ，求椭圆方程。