七、反证法

【方法介绍】与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

Ⅰ、再现性题组：

1.  已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 (    )

A.至多一个实根    B.至少一个实根   

C.一个实根        D.无实根

2.  已知a<0，－1<b<0，那么a、ab、ab 之间的大小关系是(    )

A.  a>ab> ab     B.  ab >ab>a    

C. ab>a> ab       D. ab> ab >a

3.  已知α∩β＝l，a  α，b  β，若a、b为异面直线，则(    )

A. a、b都与l相交          B. a、b中至少一条与l相交

C. a、b中至多有一条与l相交    D. a、b都与l相交

4．  在四面体顶点和各棱的中点共10个点中任取4个不共面

      的点，不同的取法有(    )

A.  150种    B.  147种    C.  144种    D.  141种

【简解】

1：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A；

2：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D；

3：从逐一假设选择项成立着手分析，选B；

4：分析清楚结论的几种情况，列式是：C －C ×4－3－6，选D。

Ⅱ、示范性题组：

例1. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。

【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”。

【证明】 假设AC⊥平面SOB，

∵ 直线SO在平面SOB内，  

∴ AC⊥SO，

∵ SO⊥底面圆O，    

∴ SO⊥AB，

∴ SO⊥平面SAB，   

∴平面SAB∥底面圆O，

这显然出现矛盾，故假设不成立。即AC与平面SOB不垂直。

【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾。

例2. 若下列方程：x +4ax－4a+3＝0， x +(a－1)x+a ＝0， x +2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。

【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。

【解】 设三个方程均无实根，则有：

，解得 ，

即－ <a<－1。

所以当a≥－1或a≤－ 时，三个方程至少有一个方程有实根。

【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。

例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝  (其中x∈R且x≠ )，证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴；  ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。

【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设。

【证明】 ① 设M (x ，y )、M (x ，y )是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x ，

假设直线M M 平行于x轴，则必有y ＝y ，

即 ＝ ，整理得a(x －x )＝x －x

∵x ≠x    ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾，  

因此假设不对，即直线M M 不平行于x轴。

② 由y＝ 得axy－y＝x－1，

即(ay－1)x＝y－1，所以x＝ ，

即原函数y＝ 的反函数为y＝ ，图像一致。

由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ 的图像关于直线y＝x成轴对称图像。

【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾。第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。

Ⅲ、巩固性题组：

1.    已知f(x)＝ ，求证：当x ≠x 时，f(x )≠f(x )。

2.    已知非零实数a、b、c成等差数列，a≠c，

求证： 、 、 不可能成等差数列。

3.    已知f(x)＝x +px+q，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于  。

4.    求证：抛物线y＝ －1上不存在关于直线x+y＝0对称的两点。

5.    已知a、b∈R，且|a|+|b|<1，求证：方程x +ax+b＝0的两个根的绝对值均小于1。

两个互相垂直的正方形如图所示，M、N在相应对角线上，且有EM＝C